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Equations KZB universelles et integrales iterees de series d'Eisenstein

Nous developpons l'analogue en genre 1 des resultats suivants, qui datent des annees 90. Le systeme differentiel de Knizhnik-Zamolodchikov (KZ) admet une version universelle, a valeurs dans une algebre de Lie graduee $t_n$. La representation d'holonomie de ce systeme differentiel peut etre utilisee pour demontrer la formalite du groupe des tresses pur $PB_n$ (Kohno), c'est a dire que l'algebre de Lie de $PB_n$ est isomorphe a son gradue associe, qui est $t_n$. Une des applications de la theorie des associateurs (Drinfeld) est de fournir une construction algebrique de ces isomorphismes. Dans notre travail (avec D. Calaque et P. Etingof), nous construisons la version universelle du systeme differentiel KZB (B = Bernard), ce qui nous permet de redemontrer la formalite de groupe des tresses $PB_{1,n}$ en genre 1 (resultat du a Bezrukavnikov, dans le cadre de la theorie des modeles minimaux ). Nous montrons qu'on a en fait un fibre principal avec connexion plate sur l'espace des modules ${\cal M}_{1,[n]}$ des courbes elliptiques avec $n$ points marques non ordonnes. Nous etudions la representation de monodromie associee, ce qui nous fournit des relations entre associateurs KZ (serie generatrice pour les MZV = valeurs fonctions multizeta) et une series generatrice pour les integrales iterees des series d'Eisenstein. Nous montrons que l'isomorphisme de formalite pour $PB_{1,n}$ peut etre rendu algebrique et nous developpons l'analogue elliptique de la theorie des quasi-algebres de Hopf (structures elliptiques sur une quasi-algebre de Hopf)