Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Structure mathématique et approximation numérique de l'hydrodynamique lagrangienne bidimensionnelle

Ce travail mené en collaboration avec Bruno Després étudie une nouvelle formulation des équations d'Euler compressibles écrites en coordonnées lagrangiennes multidimensionnelles, sous la structure d'un système de lois de conservation associé à une contrainte de divergence nulle. Cette structure s'applique également à une physique plus large, incluant par exemple la magnétohydrodynamique. Elle permet l'étude mathématique du problème global couplant les inconnues physiques avec les inconnues géométriques associées au déplacement de la matière. Nous montrons que la partie physique du système, dont l'ensemble est faiblement hyperbolique, est symétrisable sous cette contrainte, alors que la perte de régularité des inconnues géométriques est caractéristique des cisaillements. Nous construisons ensuite une méthode d'approximation originale, de type Volumes-Finis sur maillage mobile, avec degrés de liberté déplacés des faces aux noeuds. Le schéma repose uniquement sur des considérations physiques (principe de conservation, croissance de l'entropie), qui assurent sa stabilité ainsi qu'un résultat de positivité et de non-croisement sur maillage triangulaire. On montre théoriquement qu'il converge avec un ordre 1/2 sur les équations linéaires de l'acoustique. Enfin, une extension à la géométrie axisymétrique généralise la structure symétrisée et la contrainte différentielle, ainsi que la méthode d'approximation associée.