Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

A propos des méthodes d'estimation locale pour données fonctionnelles

Le cadre initial de cet exposé est la régression sur données fonctionnelles. On dispose d'un échantillon $\left( y_{i},X_{i}\right) \in\left( \mathbb{R}\times\mathcal{F}\right) ^{\otimes n}$ où $\mathcal{F}\right$ est un espace de fonctions. On s'intéresse à l'estimation ponctuelle de la fonction de régression : $r\left( x_{0}\right) =\mathbb{E}\left( y|X=x_{0}\right) $ par des techniques "à noyau". L'estimateur de Nadaraya-Watson a déjà été étudié et les recherches actuelles se concentrent sur la généralisation des méthodes de type "polynômes locaux". Un estimateur par régression linéaire locale est proposé ; il est solution d'un problème inverse que l'on explicitera. Son étude nécessite la détermination de l'asymptotique exacte de moments tronqués pour variables fonctionnelles à travers la notion d'opérateur de covariance locale. Ces opérateurs eux-mêmes dépendent complètement de la probabilité de petite boule : $\mathbb{P}\left( \left\Vert X-x_{0}\right\Vert <\varepsilon\right) ,$ $\varepsilon\downarrow0$. On donnera un résultat nouveau de représentation de ces probabilités de petites boules en les reliant avec une classe de fonctions qui apparaît en théorie des extrêmes.