Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

"ACP de mesures et estimation du mode pour variables fonctionnnelles. Application en granulométrie" de Claude MANTE et Anne-Françoise YAO

La granulométrie est élément important à prendre en compte dans l'étude du sédiment qu'il soit terrestre, marin, côtier... Sa connaissance permet dans certain cas (comme en bioturbation) de comprendre l'évolution de (par exemple) la chimie, de la communauté bactérienne du milieu. Son étude est également utile dans diérents domaines des sciences de l'environement : l'archéologie, la géologie, la pédologie, l'océanographie... Notons qu'une courbe granulométrique F est physiquement attachée à une mesure positive  : si x et y (x < y) sont deux tailles échantillonnées, F(y)􀀀F(x) =  (]x; y]) correspond réellement à la masse des particules dont la taille appartient à ]x; y]. Ces courbes sont en fait caractérisées par 3 propriétés : (1) elles ont une structure de fonction de répartition (2) elles sont discrétisées aux p points d'une grille Tp dépendant de l'appareil (3) leur représentation, dépend de l'échelle choisie pour les tailles de grain. La distribution des tailles est classiquement caractérisée par la dérivée dF dx (si elle existe), mais remarquons que cette fonction est modiée lorsque l'on change d'échelle (ce qui est pratiqué en géologie), et que dF dx est la limite quand " ! 0 de (]x;x+"]) (]x;x+"]) , où  désigne la mesure de Lebesgue : c'est la dérivée de Radon-Nikodym de  relativement à la mesure de référence . Cette formulation permet donc de remplacer la mesure de Lebesgue par une autre probabilité de référence , et/ou de tenir compte de l'eet d'un changement d'échelle sur les résultats de l'ACP des densités de Radon-Nikodym ; changement d'échelle qui est souvent utilisé en géologie. La méthode est appliquée à la cartographie sédimentologique de deux campagnes de prélèvement (1992-1997) dans l'étang de Berre ; on utilisera plusieurs mesures de Centre d'Océanologie de Marseille, Université de la Méditerranée. Campus de Luminy, Case 901 13288 MARSEILLE Cedex 09 France 1 référence. Pour complèter notre étude, nous étudions des centralités fonctionnelles autre que la moyenne : la médiane, et le mode. l'estimation de ce dernier requiert une estimation de la densité pour variables fonctionnelles notamment dans le cadre spatial. Nous proposons alors un estimateur nonparamétrique de la densité pour données fonctionnelles sous conditions de mélange. Références [1] S. Dabo-Niang, and A.F. Yao, 2008. Density estimations for spatial functional random variables. Preprint. [2] F. Ferraty and P. Vieu. Nonparametric Functional Data Analysis : Theory and Practice. Springer Series in Statistics, Springer, New York, 2006. [3] C. Manté, The use of regularization methods in computing Radon- Nikodym deri- vatives. Application to grain-size distributions, SIAM Journal on Scientic Computing, 21, 2, 455-472, 1999. [4] C. Manté, A.F. Yao and C. Degiovanni, Principal Components Analysis of mea- sures, with special emphasis on grain-size curves, Computational Statistics & Data Analysis, 51, 4969-4983, 2007. 2