Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Quelques questions relatives à la géométrie pulmonaire

L'observation de la nature et la perfection de beaucoup de mécanismes liés aux êtres vivants peut nous pousser à croire qu'un principe d'optimalité régit ces mécanismes. Nous nous intéressons dans un premier temps à la trachée et nous demandons si sa forme tente d'optimiser un critère. On suppose que l'entrée et la sortie sont deux disques identiques fixés, et que le volume est donné. On suppose que l'air est un fluide incompressible, régi par les équations de Navier-Stokes, avec des conditions au bord classiques sur la frontière du domaine (profil de vitesse imposé à l'entrée, conditions de non glissement sur la paroi latérale et une condition de pression en sortie). Nous souhaitons étudier le critère "énergie dissipée par le fluide" et considérons le problème d'optimisation consistant à trouver la forme minimisant ce critère. En particulier, nous nous poserons les questions suivantes : - Ce problème d'optimisation a-t-il une solution dans une classe raisonnable ? - Peut-on mettre en évidence des propriétés de symétrie pour l'optimum ? - Le cylindre est-il solution d'un tel problème ? Nous montrons que ça n'est pas le cas. - La forme obtenue est-elle proche de la forme réelle de la trachée ? Numériquement, nous exhibons des formes meilleures. Dans un deuxième temps, nous élargissons ces résultats au cas de l'arbre bronchique et tentons de retrouver numériquement sa forme en minimisant par rapport au domaine l'énergie dissipée par le fluide dans un arbre dichotomique, en 2D et 3D.