Séance Séminaire

Séminaire de Théorie des Nombres de Montpellier

Applications du topos sous-analytique aux équations différentielles linéaires : une introduction.I.

Le 21 ème problème de Hilbert pose la question suivante : étant données une variété analytique complexe X, une sous variété fermée Z et une représentation V du groupe fondamental de X \ Z, existe-t-il un opérateur différentiel à pôles sur Z tel que V soit isomorphe au prolongement analytique des solutions holomorphes locales de Pu = 0 ? On sait depuis longtemps que la réponse est affirmative. La structure de catégorie des représentations du groupe fondamental et son lien avec les faisceaux localement constant suggère que, à l’aide de la théorie des faisceaux, on peut donner aux équations différentielles une structure de catégorie, que le faisceau des solutions holomorphes peut devenir un foncteur et qu’on peut se demander si un tel foncteur est pleinement fidèle. Ce problème est connu sous le nom de correspondance de Riemann-Hilbert, il a été résolu en toute généralité par M. Kashiwara et indépendamment par Z. Mebkhout dans le contexte des D-modules. On sait que le foncteur des solutions holomorphes est pleinement fidèle si, et seulement si, on considère des équations dont les solutions ont une croissance polynômiale, qu’on appelle régulières. La correspondance de Riemann-Hilbert dans le cas irrégulier est beaucoup plus compliquée. En dimension 1, elle a été d´emontrée par P. Deligne en se basant sur les travaux de nombreux mathématiciens comme, M. Hukuhara, A. Levelt, B. Malgrange, J.-P. Ramis, Y. Sibuya, H. Turrittin. R´ecemment T. Mochizuki, en démontrant une conjecture de C. Sabbah sur la structure formelle des connexions méromorphes, a mis les bases pour la solution de la correspondance de Riemann-Hilbert irrégulière en toute dimension. Même si la correspondance de Riemann-Hilbert irrégulière en dimension 1 est maintenant classique, elle fait intervenir des objets de nature analytique qui ne sont pas facilement généralisables aux dimensions supérieures. Il s’agit des polynômes `a puissances rationnelles qui apparaissent aux exposants des solutions à croissance non polynômiale, qu’on appelle facteurs déterminants. Récemment M. Kashiwara et P. Schapira, en réinterprétant des résultats des S. Lojasiewicz, ont décrit les distributions tempérées sur une varieté analytique X en tant que faisceau sur le site sous-analytique relatif `a X. De plus ils ont donné un exemple de l’utilité des solutions tempérées des équations différentielles ordinaires irr´egulières. Plus précisément, contrairement aux solutions classiques, les solutions tempérées décrivent complètement les facteurs déterminants, d'où l’intérêt de les étudier. Dans ces deux exposés nous allons chercher `a détailler les arguments cit´es. Dans le premier exposé on donnera des motivations de nature analytique pour l’utilisation du topos sous-analytique, dans le deuxième exposé on montrera les applications concrètes du topos sous-analytique. On suivra une approche basée sur des exemples concrets. Pour plus de détails, on pourra consulter : détails