Séance Séminaire

Séminaire de Théorie des Nombres de Montpellier

Groupes de Galois génériques des équations aux q-différences I

Une équation aux q-différences linéaire est une équation fonctionnelle de type multiplicatif, i.e. de la forme $Y(qx)=A(q,x) Y(x)$ où $A(q,x)$ est une matrice inversible à coefficients dans un certain corps de fonctions rationnelles en q et en x. A l'instar de la théorie de Galois des équations différentielles, la théorie de Galois aux q-différences attache à toute équation un groupe algébrique linéaire dont la structure mesure les relations algébriques entre les solutions de l'équation. Nous donnons ici une description arithmétique de ce groupe. En particulier, nous exhibons une liste de générateurs liés aux points de dégénérescence de la structure galoisienne. Pour les q différences, ces points correspondent aux spécialisations du paramètre q en une racine de l'unité. Cette caractérisation est l'analogue pour les q-différences de la conjecture ouverte de Groethendieck-Katz pour les équations différentielles qui prédit que le comportement des solutions de l'équation différentielle $\mathcal{L}$ est entièrement déterminé par les réductions de $\mathcal{L}$ modulo les nombres premiers. Une question naturelle attachée à l'étude des solutions d'équations aux q-différences est celle de leur comportement différentiel, par exemple si elles peuvent satisfaire une équation différentielle polynomiale. Nous allons montrer qu'il est possible de donner une réponse galoisienne à cette question et que le groupe différentiel attaché à ce genre de problème est entièrement déterminé par les spécialisations de l'équation en les racines de l'unité.