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Monades de Hopf et invariants quantiques

Au cours de cet exposé portant principalement sur des travaux en collaboration avec Alexis Virelizier, j'expliquerai comment une question d'invariantologie (comparaison d'invariants quantiques de 3 variétés) a conduit a l'introduction de la notion de monade de Hopf. J'illustrerai cette notion par divers exemples. Les algèbres de Hopf peuvent être vues comme des monades de Hopf bien particulières; ce sont en fait les monades de Hopf augmentées. D'autre part, le centre catégorique de Joyal-Yetter s'interprète algébriquement au moyen d'une certaine monade de Hopf quasitriangulaire qui ne provient (en général) pas d'une algèbre de Hopf. Plus généralement les adjonctions monoidales `de Hopf' (c'est-à-dire ayant de bonnes propriétés de relèvement) donnent lieu à des monades de Hopf; celles-ci sont donc susceptibles d'apparaître dans toutes sortes de situations. J'indiquerai comment divers resultats classiques sur les algèbres de Hopf s'étendent aux monades de Hopf, notamment - le théorème de structure des modules de Hopf, qui s'interprète comme une descente; ce résultat permet notamment de redécouvrir la modularisation des categories prémodulaires par l'autre bout de la lorgnette; - la construction du double de Drinfeld, qui joue un rôle clé dans la comparaison des invariants quantiques.