Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

A propos du symbole des opérateurs différentiels

Sous l'action d'un changement de variables, l'expression d'un opérateur différentiel dont les arguments et les valeurs sont des fonctions sur un ouvert de ${\rm I\!R}^m$ se transforme de façon compliquée, faisant intervenir non seulement la matrice Jacobienne du changement de variables mais aussi ses dérivées partielles de tout ordre. Plus précisément, les termes d'ordre k de l'opérateur contribuent à des termes d'ordre k qui se transforment de façon simple et à des termes d'ordres moindres où apparaissent ces dérivées. En termes plus algébriques, l'espace D des opérateurs différentiels est {\it filtré} par l'ordre de différentiation et l'espace {\it gradué} G(D) associé à cette filtration est naturellement isomorphe à celui des champs de tenseurs contravariants symétriques; en outre, comme représentations du groupe des difféomorphismes (ou de l'alagèbre de Lie des champs de vecteurs) de l'ouvert considéré, ces espaces ne sont pas isomorphes. Cependant, ils le sont sous l'action du groupe des difféomorphismes affines ainsi que sous l'action de groupes plus larges, tels le groupes des homographies ou le groupe conforme associé à des métriques de signature arbitraire. Ceci pose plusieurs questions: - pour quels groupes S les modules D et G(D) sont-ils isomorphes? - peut-on classer tous les S-modules D? - qu'en est-il pour les opérateurs différentiels dont les arguments sont plus généraux que des fonctions? - comment ces notions se transposent-elles aux variétés quelconques? - ... D'un ouvert d'un espace Euclidien aux géométries de Cartan en passant par les algèbres irréductibles de type fini de Kobayashi et Nagano, on présentera un aperçu des résultats et des méthodes de cette étonnante théorie.