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Algèbres pré-Lie libres

Une algèbre pré-Lie est un espace vectoriel muni d'un produit qui satisfait la relation $x(yz)-(xy)z=x(zy)-(xz)y$. Par exemple, une algèbre associative est une algebre pré-Lie. De plus, étant donnée une algèbre pré-Lie on peut construire une algèbre de Lie grâce au crochet $[x,y]=xy-yx$ C'est dans les années soixante que cette structure a été découverte dans deux contextes différents: d'une part par Vinberg sur les champs de vecteurs munis d'une structure affine, d'autre part par Gerstenhaber sur les cochaines de Hochschild d'une algèbre associative. En 2001, avec Chapoton, nous avons décrit les algèbres pré-Lie libres à l'aide des arbres enracinés, ce qui nous a permis de faire le lien avec la théorie de la renormalisation à la Connes et Kreimer.
Durant mon exposé, j'expliquerai ce lien ainsi que la raison pour laquelle les arbres enracinés interviennent dans les méthodes de Runge Kutta pour résoudre les equations différentielles.
Dans une deuxième partie, j'exposerai mes travaux récents concernant un théorème de rigidité des algèbres pré-Lie: si on impose une structure supplémentaire sur une algèbre pré-Lie (un coproduit appelé nonassociatif permutatif et une relation entre le coproduit et le produit) alors cette algèbre est libre. Ce théorème est à relier avec un théorème de Leray pour les algèbres commutatives et des travaux récents de Loday, Ronco, Foissy concernant des théorèmes de Cartier - Milnor - Moore dans diverses catégories d'algèbres.