Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Flots de courbure d'ordre quatre et applications géométriques.

Dans cet exposé, on présente une preuve d'un résultat de rigidité des variétés compactes de dimension quatre, qui repose entièrement sur l'étude d'un flot géométrique. On étudie pour cela le flot de gradient de certaines fonctionnelles quadratiques en la courbure, et on montre que lorsque la métrique initiale possède une constante de Yamabe positive et que son énergie est inférieure à une borne explicite, alors le flot ne développe pas de singularité. Sous ces hypothèses, la solution existe pour tous les temps positifs, et il existe une suite de temps pour lesquels la métrique converge vers un quotient de la sphère. Cela donne, sous des hypothèses un peu plus fortes, une preuve plus directe d'un théorème de Chang, Gursky et Yang affirmant que les seules variétés compactes de dimension quatre dont la courbure vérifie un pincement intégral et ayant une constante de Yamabe positive sont des quotients de la sphère.