Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

Points aléatoires et convexité : éléments d’étude asymptotique

Les premiers problèmes liés à des points aléatoires dans un disque ou un triangle ont été posés sous la forme de casse-têtes mathématiques il y a à peu près 150 ans. C’est seulement depuis environ 1960 et la découverte d’applications à d’autres domaines scientifiques qu’une vraie théorie des polytopes aléatoires s’est bâtie, à l’intersection de la géométrie convexe et des probabilités. La première partie de l’exposé aura pour but de faire un tour d’horizon non exhaustif des résultats obtenus et questions ouvertes. Nous présenterons d’autre part une méthode générale dite de stabilisation qui permet de montrer des théorèmes limites en géométrie aléatoire. La technique sera ensuite appliquée à l’analyse asymptotique des polytopes aléatoires isotropes dans la boule-unité. Nous établirons des résultats du second ordre avec calcul explicite de variance limite ainsi que des convergences de type valeurs extrêmes. D'autres modèles de géométrie aléatoire pour lesquels des techniques similaires s'appliquent seront évoqués. Par ailleurs, nous illustrerons l'exposé par des exemples d’applications en statistique et algorithmique.