Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Quantification des sous-algèbres de Lie coisotropes

Jury :
Pavel ETINGOF, Professeur, Massachusetts Institute of Technology, Rapporteur
David HERNANDEZ, Professeur, Université Paris 7, Rapporteur
Gilles HALBOUT, Professeur, Universite Montpellier 2, Directeur de thèse
Benjamin ENRIQUEZ, Professeur, Universite Strasbourg , Examinateur
Fabio GAVARINI, Professeur, Università degli Studi di Roma, Examinateur (br> Jean-Michel OUDOM, Maitre de conférences, Universite Montpellier 2, Examinateur
Alain BRUGUIèRES, Professeur, Universite Montpellier 2, Examinateur

Résumé :
L'objet de cette thèse est l'étude de quantification des sous-algèbres de Lie coisotropes dans les bigèbres Lie. L'étude sera effectuée en utilisant des méthodes de calcul dans le cas semi-simple et les méthodes homologiques et Propic dans le cas général. La théorie de la déformation par la quantification résulte d'une nécessité physique à exprimer la mécanique quantique comme une "déformation" de la mécanique classique. Une réponse à ce besoin est la théorie de "groupes quantiques" qui fut introduite par V. Drinfeld dans son allocution au Congrès international de mathématiques à Berkeley en 1986. Le terme de groupe quantique fait réfèrence à un certain type d'algèbres de Hopf qui ne sont pas cocommutative. V. Drinfeld a introduit en 1992, de nombreux problèmes de quantification, il a également énoncé l'objet de cette thèse quand il a étudié les espaces de Poisson homogènes quantiques. La plupart des problèmes de quantification ont été résolus, tels que la quantification universelle des bigèbres de Lie qui fut répondue par P. Etingof et D. Kazhdan en 1996. En fait, le problème de quantification des sous-algèbres de Lie coisotropes est équivalente à la quantification des sous-groupes coistropes d'un groupe de Lie Poisson et, plus important, il est équivalent à la déformation des espaces de Poisson homogènes de groupe type, G/C où C est un sous-groupe coisotrope. En fait, quatre approches différentes à la quantification des sous-algèbres coisotropes découlent du principe de dualité des sous-algèbres de Lie coisotropes qui a été décrit par N. et F. Ciccoli Gavarini en 2006 en utilisant la dualité quantique, introduite par V. Drinfeld en 1987, entre la quantification d'un groupe de Lie Poisson-(QFSHA) et la quantification de sa bigèbre Lie (QUEA). L'existence d'une quantification de ces objets n'est pas encore résolue. Afin de répondre à ces problèmes de quantification, j'ai étudié certains exemples fournis par M. Zambon en 2011, où une méthode pour construire des sous-algèbres de Lie coisotrope de bigèbres de Lie est développée et appliquée au cas des algèbres de Lie semi-simples complexes. J'ai construit une quantification de tous ces exemples en utilisant des méthodes de calcul dans l'algebre enveloppante universelle quantique de l'algèbre de Lie semi-simple construite par V. Drinfeld et M. Jimbo. L'obstruction principale dans ce travail était la preuve de la platitude de la quantification. Nous donnons la relation entre ce travail et la récente classification des sous-algèbres coideales à droite del'algebre enveloppante universelle quantique de l'algèbre de Lie semi-simple établie par I. Heckenberger et S. Kolb en 2012. Suite à ce travail, j'ai étudié les premières ordres de la quantification universelle, en utilisant les constantes de structure d'une bigèbres de Lie, en suivant une quantification universelle d'ordre trois construite par V. Drinfeld en 1992. Cette méthode a donné naissance à une obstruction. Cette obstruction apparaît lors vérification la platitude de la quantification. Il est intéressant de noter que cette obstruction est égal à zéro dans le cas d'une sous-bigèbre de Lie et dans les exemples précédents de bigèbres de Lie semi-simples, où j'ai construit une quantification. Enfin, j'ai étudié un cas particulier. En utilisant un résultat récent sur la quantification de la quasi-bigèbre fait par B. Enriquez et G. Halbout en 2011 et un article sur les espaces de Poisson homogènes quantiques écrit par B. Enriquez et Y. Kosmann-Schwarzbach en 1999, j'ai trouvé une quantification de l'espace homogène de Poisson associée au "double" d'une sous-algèbre de Lie coisotrope considérée comme une sous-algèbre de Lie Lagrangienne du double de Drinfeld. Ce résultat est une généralisation d'une construction de P. Etingof et D. Kazhdan de 1995 où ils ont utilisé la preuve de la quantification des bigèbres de Lie pour trouver une quantification des quadruplés de Manin. Dans cette étude, nous mettons aussi en avant les questions ouvertes relatives au problème de quantification des sous-algèbres de Lie coisotropes. Les questions principales, qui restent à résoudre, sont : l'extension au cas classique de la conjecture des sous-algb`res coidéales à droite de Uq(g) donnée par V. Kharchenko and A. Sagahon dans [KS08], selon laquel le nombre de sous-algb`res coidéales à droite de Uq(b+) qui contiennent le coradical est égale à l'ordre du groupe de Weyl de g ; la détermination d'un critère pour classifier les sous-algèbres de Lie coisotropes où l'obstruction est égale à zero; l'action des associateurs et du groupe de Grothendick-Teichmuller sur la classe d'obstruction ; La determination d'une équivalence entre la quantification à l'ordre trois de Drinfeld et celle d'Etingof-Kazhdan.