Séance Séminaire

Colloquium de Mathématiques

Analyse algébrique et théorie du contrôle : des principes aux applications

On connaît l'importance des méthodes algébriques et géométriques dans l'étude des systèmes de contrôle linéaires et non-linéaires définis par des équations différentielles ordinaires (1970-1990). D'un autre côté, on connaît la théorie des systèmes distribués développée par J.-L. Lions à partir de 1970 pour étudier les systèmes de contrôle définis par des équations aux dérivées partielles. Parallèlement, toujours en 1970 et à la suite de travaux américains sur la théorie formelle des systèmes d'équations aux dérivées partielles (D.C. Spencer), plusieurs mathématiciens "purs" (V. Palamodov pour les systèmes à coefficients constants, M. Kashiwara et B. Malgrange pour les systèmes à coefficients variables) ont utilisé, sous le nom d'Analyse Algébrique, des méthodes sophistiquées d'algèbre homologique pour étudier les systèmes d'équations aux dérivées partielles indépendemment de leur présentation (par exemple, deux équations différentielles d'ordre 1 au lieu d'une equation dierentielle d'ordre 2). L'objet de cet exposé est de présenter ces méthodes de façon élémentaire et de les appliquer en théorie du contrôle afin de montrer le théoreme suivant qui contredit l'intuition des ingénieurs depuis les travaux de R.E. Kalman il y a 50 ans exactement: THÉORÈME: La contrôlabilite est une propriété "structurelle" d'un système de contrôle, ne dépendant pas de la présentation du système ou du choix des entrées et des sorties parmi les variables du système. En conséquence, un système de contrôle est contrôlable si et seulement si il est paramétrisable. Le test effectif correspondant repose nécessairement sur la méthode de la "double dualité", c'est-à-dire sur une double utilisation des adjoints formels. Ce résultat, encore peu connu, amène à concevoir une théorie du contrôle des systèmes d'équations aux dérivées partielles reposant sur des méthodes formelles et non plus fonctionnelles qui permettent donc d'utiliser des algorithmes effectifs de calcul formel sur ordinateur. Une application inattendue sera fournie par l'impossibilité de paramétrer les équations d'Einstein en Relativité Générale contrairement à la possibilité de paramétrer les équations de la contrainte en mécanique des milieux continus (1 fonction d'Airy en dimension 2 mais 3 fonctions de Maxwell/Morera en dimension 3) ou les équations de Maxwell en Électromagnétisme (4 composantes de la 1-forme potentiel en dimension 4). RÉFÉRENCES: M. KASHIWARA: Algebraic study of systems of partial differential equations, Mémoires de la Sociéte Mathématique de France, 63, 1995 (translation from Japanese of his 1970 Master's Thesis). J.-F. POMMARET: Partial Differential Control Theory, Kluwer, 2001, 1000 pages (Zbl 1079.93001). J.-F. POMMARET: Algebraic analysis of control systems dened by partial dierential equations. In: Advanced Topics in Control Systems Theory, Lecture Notes from FAP 2004, Springer Lecture Notes in Control and Information Sciences 311, Springer, 2005, 280 pages, Chap. 5, pp 155-223. J.-F. POMMARET, A. QUADRAT: Localization and parametrization of linear multidimensional control systems, Systems and Control Letters, 37, 1999, 247-260.