Soutenances de thèses
vendredi 05 juillet 2013 à 14 - S.C. 10.01
Anthony Blanc (I3M)
Invariants topologiques des espaces non-commutatifs
Jury
M. Bertrand TOëN Université Montpellier 2 Directeur de thèse
M. Denis-Charles CISINSKI IMT, Toulouse Rapporteur
M. Boris TSYGAN Northwestern University Rapporteur
M. Carlos SIMPSON Université de Nice-Sophia-Antipolis Examinateur
M. Bernhard KELLER Université Paris Diderot - Paris 7 Examinateur
M. Michel VAQUIé IMT, Toulouse Examinateur
Résumé
Dans cette thèse, on donne une définition de la K-théorie topologique des espaces non-
commutatifs de Kontsevich (c'est-à-dire des dg-catégories) définis sur les nombres complexes.
L'introduction de ce nouvel invariant initie la recherche des invariants de nature topologique des
espaces non-commutatifs, comme "simplifications" des invariants algébriques (K-théorie
algébrique, homologie cyclique, périodique comme étudiés dans les travaux de Tsygan, Keller).
La motivation principale vient de la théorie de Hodge non-commutative au sens de Katzarkov--
Kontsevich--Pantev. En géométrie algébrique, la partie rationelle de la structure de Hodge est
donnée par la cohomologie de Betti rationnelle, qui est la cohomologie rationnelle de l'espace
des points complexes du schéma. La recherche d'un espace associé à une dg-catégorie trouve
une première réponse avec le champ (défini par Toën--Vaquié) classifiant les dg-modules
parfaits sur cette dg-catégorie. La définition de la K-théorie topologique a pour ingrédient
essentiel le foncteur de réalisation topologique des préfaisceaux en spectres sur le site des
schémas de type fini sur les complexes. La partie connective de la K-théorie semi-topologique
peut être définie comme la réalisation topologique du champ en monoïdes commutatifs des dg-
modules parfaits. Cependant pour atteindre la K-théorie négative, on réalise le préfaisceau
donné par la K-théorie algébrique non-connective. Un de nos résultats principaux énonce
l'existence d'une équivalence naturelle entre ces deux définitions dans le cas connectif. On
montre que la réalisation topologique du préfaisceau de K-théorie algébrique connective pour la
dg-catégorie unité donne le spectre de K-théorie topologique usuel. Puis que c'est aussi vrai pour la K-théorie algébrique non-connective, en utilisant la propriété de restriction aux lisses de
la réalisation topologique. En outre, cette propriété de restriction aux schémas lisses nécessite
de montrer une généralisation de la descente propre cohomologique de Deligne, dans le cadre
homotopique non-abélien. La K-théorie topologique est alors définie en localisant par rapport à
l'élément de Bott. Cette définition repose donc sur des résultats non-triviaux. On montre alors
que le caractère de Chern de la K-théorie algébrique vers l'homologie périodique se factorise
par la K-théorie topologique, donnant un candidat naturel pour la partie rationnelle d'une
structure de Hodge non-commutative sur l'homologie périodique, ceci étant énoncé sous la
forme de la conjecture du réseau. Notre premier résultat de comparaison concerne le cas d'un
schéma lisse de type fini sur les complexes -- la conjecture du réseau est alors vraie pour de
tels schémas. On montre ensuite que cette conjecture est vraie dans le cas des algèbres
associatives de dimension finie.