Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

Approximation forte du processus empirique indexé par des fonctions

Le but de ce travail est de faire le lien entre les deux résultats bien connus suivants. (i) Le processus empirique réel a_n peut être remplacé par un pont Brownien b_n changé de temps, à distance uniforme presque sûre O(log(n)/n1/2). C'est un des principes d'invariances fort issus de la "construction hongroise" qui fonctionne dans des cadres particuliers. (ii) Le processus empirique A_n issu de v.a. de loi P et indexé par un ensemble F de fonctions, converge faiblement vers un P-pont Brownien B indexé par F si F est d'entropie assez faible ou de géométrie bien réglée. C'est le principe d'invariance faible, valable dans un cadre général. Avec D.M. Mason nous exploitons les outils généraux de la théorie des processus empiriques (couplage, symétrisation, inégalités de moment, chaînage) et des processus gaussiens (régularité, concentration) pour : (i+ii) construire simultanément A_n et B indexés par F de sorte qu'avec grande probabilité leur norme sup sur F soit bornée par v(n)->0. Les conditions sont de nature entropie ou chaînage et nous mettons en lumière le rôle crucial de l'intégrale de Dudley (1967). A l'aide de preuves simples nous obtenons ainsi des principes d'invariance forts dans le cas traditionnel des classes de Donsker, et par là même des vitesses de convergence faible. Une faible entropie permet à F de se prémunir contre les lois P les plus défavorables mais ne restitue pas les vitesses optimales pour les P favorables. Corollaires utiles : ces résultats induisent des vitesses d'approximation forte du processus empirique multivarié en topologie forte (Hölder ou uniforme pondérée) et complètent ou améliorent des cas particuliers, notamment ceux étudiés par Koltchinsk'ii, Massart, Rio etc.