Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Marches aléatoires, fonctions harmoniques et cohomology $\ell^p$ en degré 1

La cohomologie $\ell^p$ réduite en degré est un invariant de quasi-isométrie utile pour les graphes [de valence bornée] dont la définition est relativement simple. Sur un graphe il y a un opérateur de gradient naturel qui associe à une fonction f (définie sur les sommets) la fonction df qui associe à une arêtes la différence des valeurs à ses exgtrémités. La cohomologie $\ell^p$ est le quotient des fonction dont le gradient est dans $\ell^p$ par les fonctions qui sont dans $\ell^p$. Dans cette exposé, j'expliquerai commet, sous des hypothèse de profil isopérimétrique, il est possible de voir l'essentiel de cet espace comme un sous-espace des fonctions harmonique bornées. Au cours de cette démonstration, le coût de transport apparaît naturellement pour contrôler la croissance des fonctions à gradient dans $\ell^p$. Les applications principales de ce résulats sont - d'exhiber une partie du bord de Poisson qui est invariant sous quasi-isométries - de montrer que les groupes moyennables ont une cohomologie $\ell^p$ réduite trivial pour tout $p \in [1,2]$ et que ceci reste vrai pour beaucoup d'entre eux lorsque $p>2$. [Ceci donne un réponse partielle à une question de Gromov.] - de montrer que plusieurs groups (e.g. allumeurs de réverbères) n'ont pas de fonction harmonique bornées à gradient $\ell^p$ (bien qu'ils ont une foule de fonctions harmoniques bornées).