Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Introduction à quelques invariants topologiques

De récentes théories de physique quantique nous incitent à nous pencher sur le problème suivant : pour deux formes géométriques fixées de basse dimension (1, 2 ou 3), est-il possible de déformer, sans déchirer, la première forme afin d'obtenir la seconde ? Dans ce cas, par abus de langage, nous dirons que les formes géométriques sont semblables. Avec une telle connaissance, on pourrait regrouper les formes géométriques semblables par paquets, et ainsi obtenir une classification de celles-ci. Une méthode pratique consiste à associer à toute forme géométrique un objet algébrique (un nombre ou un polynôme par exemple) qui détecte les objets semblables. Plus précisément, un même objet algébrique est associé à des formes géométriques semblables. On parle d'invariant topologique. Plusieurs classifications sont ainsi réalisées ; on les appelle les théories quantiques de champs topologiques. Celles-ci mettent en œuvre de lourds calculs algébriques. Néanmoins, pour certaines classifications, il est possible d'interpréter ces calculs en terme de dessins. Les calculs se voient alors remplacés par des relations entre dessins, plus faciles à utiliser. C'est une des motivations de la théorie Skein. Dans cet exposé, je présenterai une méthode de construction d'invariants topologiques et un cas d'interprétation en théorie Skein.