Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

Analyse de sensibilité - Indices de Sobol et variables fonctionnelles

De nombreux modèles mathématiques rencontrés en pratique font intervenir un grand nombre de paramètres incertains ou inconnus. Il est important pour le praticien de quantifier l'impact sur la sortie des incertitudes sur les entrées. Ceci se fait par exemple en menant une analyse de sensibilité dont le but est d'identifier les paramètres les plus influents. Il est alors courant de supposer que les paramètres d'entrée sont des variables aléatoires indépendantes dont les distributions sont choisies sur avis d'expert. La sortie du code devient alors aléatoire et la variance totale se décompose en variances partielles (selon la décomposition d'Hoeffding). Chacun des termes mesure l'incertitude sur la sortie induite par l'incertitude des paramètres d'entrée. En renormalisant chacune de ces variances partielles par la variance totale, nous obtenons une mesure de l'influence de chacune des variables d'entrée. Les ratios ainsi obtenus sont appelés les indices de Sobol des variables d?entrée; les paramètres les plus importants sont ainsi identifiés et ordonnés.
Une fois les indices de Sobol définis, la question de leur qualité statistique reste ouverte. En pratique, l'estimation de tels indices nécessite un certain nombre d'appels au code. Des techniques de Monte-Carlo ou quasi Monte-Carlo ont été récemment développées dans ce but et en particulier la méthodologie Pick and Freeze (SPF).
Dans cette présentation, nous considérons le modèle linéaire fonctionnel dans lequel les variables explicatives sont des processus stochastiques connus à valeurs dans un espace de Hilbert (par exemple des processus Gaussiens dans L2 ([0, 1]). Notre approche est basée sur la décomposition de Karhunen-Loève des processus d'entrée. Nous construisons ensuite des estimateurs naturels des indices de Sobol pour lesquels nous prouvons leur normalité asymptotique et leur efficacité. Enfin nous comparons cette méthode au schéma Pick and Freeze sur une application numérique.
Nous considérons ensuite que la sortie du code n'est plus un scalaire mais appartient à un espace de Hilbert (qui peut être de dimension finie ou infinie). Nous donnons une généralisation naturelle des indices de Sobol. Ces indices ont de jolies propriétés. Tout d'abord, ils sont invariants par isométrie et translation. De plus, il peuvent être, de même qu'en dimension 1, facilement estimés en utilisant la méthode Pick and Freeze. Nous étudions ensuite leur comportement asymptotique.