Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Représentation unitaires de U(5) p-adique

Jury : I. Badulescu, I3M, co-directeur de thèse M. Hanzer Université de Zagreb, Rapporteur I. Matic, Université d'Osijek, Rapporteur U. Stuhler, Université de Goettingen, co-directeur de thèse L. Nyssen, I3M, Ph. Roche, I3M, V. Heiermann, Université d'Aix Marseille Résumé : Nous étudions les représentations complexes, induites par l'induction parabolique, du groupe U(5), défini sur un corps local non-archimedean de caractéristique 0. C'est Qp ou une extension finie de Qp . On parle des 'corps p-adiques'. Soit F un corps p-adique. Soit E : F une extension de corps de degré 2. Soit Gal(E : F ) = {id, ?} le groupe de Galois. On écrit ?(x) = overline{x} forall x ? E. Soit | |p la norme p-adique de E. Soient E* = E {0} et E 1 = {x ? E | xoverline{x} = 1} . U (5) a trois sous-groupes paraboliques propres. Soit P0 le sous-groupe parabolique minimal et soient P1 et P2 les deux sous-groupes paraboliques maximaux. Soient M0 , M1 et M2 les sous-groupes de Levi standards et soient N0 , N1 et N2 des sous-groupes unipotents de U (5). On a la décomposition de Levi Pi = Mi Ni , i ? {0, 1, 2} . M0 = E* × E* × E 1 est le sous-groupe de Levi minimal, M1 = GL(2, E) × E 1 et M2 = E* × U(3) sont les sous-groupes de Levi maximaux. On considère les représentations des sous-groupes de Levi, et on les étend trivialement au sous-groupes unipotents pour obtenir des représentations des sous-groupes paraboliques. On exécute une procédure appelé 'l'induction parabolique' pour obtenir les représentations de U (5). Nous considérons les représentations de M0 , puis les représentations non-cuspidales, induites à partir de M1 et M2 . Cela veut dire que la représentation du facteur GL(2, E) de M1 est un sous-quotient propre d'une représentation induite de E* × E* à GL(2, E). La représentation du facteur U (3) de M2 est un sous-quotient propre d'une représentation induite de E* × E 1 à U(3). Un example pour M1 est | det |? ?(det) StGL2 * ?' , où ? ? R, ? est un caractère unitaire de E* , StGL2 est la représentation Steinberg de GL(2, E) et ?' est un caractère de E 1 . Un exemple pour M2 est | |? ? ? (det) StU (3) , où ? ? R, ? est un caractère unitaire de E* , ?' est un caractère unitaire de E 1 et StU (3) est la représentation Steinberg de U(3). On remarque que ?' est unitaire. Ensuite on considère les représentations cuspidales de M1 . On détermine les droites et les points de réductibilité des représentations de U(5) et on détermine les sous-quotients irréductibles. Ensuite, sauf quelque cas particuliers, on détermine le dual unitaire de U(5) par rapport au quotients de Langlands. Les représentations complexes, paraboliquement induites, de U(3) sur un corps p-adique sont classifiées par Charles David Keys dans [Key84], les représentations complexes, paraboliquement induites, de U(4) sur un corps p-adique sont classifiées par Kazuko Konno dans [Kon01].