Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Existence de solutions pour un certain type d'équations paraboliques via la méthode des flots de gradient.

Dans cet exposé, on va s'intéresser à l'existence et l'unicité des solutions faibles de l'équation de continuité, dp/dt+div(pv)=0 , p(t=0)=p0 avec p0 une densité de probabilité. Dans un premier temps, on regardera le cas où v est une fonction régulière qui peut se résoudre facilement à l'aide de la méthode des caractéristiques. Puis on remarquera que de nombreuses équations d'évolution ont une structure d'un flot de gradient dans l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité, c'est-à-dire qu'elles peuvent s'écrire sous la forme d'une équation de continuité avec v=-nabla(dE/dp(p)) où E est une fonctionnelle définie sur l'espace des probabilités et dE/dp sa première variation. Cette théorie, introduite par Jordan, Kinderlehrer et Otto [2], a été développée dans le livre d'Ambrosio, Gigli et Savaré [1]. Enfin dans une troisième partie, j'exposerai les résultats qu'on a eu avec mon directeur de thèse Guillaume Carlier. Nous nous sommes intéressés à perturber la méthode des flots de gradient, c'est-à-dire à regarder des équations qui ne sont pas du type flot de gradient mais pour lesquelles le champ de vitesse est la somme d'un terme de type gradient et d'un terme régulier.