Séance Séminaire

Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Sur un resultat d'Iguza et Todorov

Soit A une algèbre d'Artin (une algèbre de longueur finie sur un anneau commutatif artinien). Pour un A-module (à droite) M, nous notons la dimension projective de M par dp M. On sait que cette dernière peut être finie ou non. La dimension finitistique de A est alors définie comme étant fin.dim A=sup{dp M | M est un A-module de type fini et dp M fini} Il a été conjecturé que pour tout A, fin.dim A est finie. Cette conjecture a été démontrée dans certains cas, notamment pour les algèbres monomiales, de radical cube nul et plus récemment pour les algèbres bisérielles spéciales. Ce dernier cas a été résolu à l'aide d'un nouveau résultat d'Igusa et Todorov qui relie la notion de "representation dimension" d'Auslander à celle de dimension finitistique. Grâce à leur théorème, pour démontrer qu'une algèbre est de dimension finitistique que finie il suffit maintenant de "trouver un bon module" sur cette algèbre. Ceci représente une sérieuse avancée pour la démonstration de la conjecture (qui implique entre autres la conjecture de Nakayama). Dans cet exposé nous donnerons la démonstration aussi élégante que profonde de ce nouveau résultat. Il est à noter que le seul prérequis est une connaissance de base des notions d'algèbre homologique.