Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Propriété de Liouville et compression Hilbertienne

Construire un plongement grossier du graphe de Cayley d'un groupe dans un espace de Hilbert a des conséquences suprenantes sur la propriété du groupe (e.g. Yu a montré qu'il satisfait la conjecture de Baum-Connes). Un plongement est dit grossier lorsqu'il ne déforme pas trop les distances: la distance dans l'image est bornée supérieurement par une fonction affine de l'image à la source, et inférieurement par une fonction quelconque (appelée fonction de compression). Un résultat de Austin, Naor & Peres montre que ces plongements permettent aussi d'obtenir des résultats sur les marches aléatoires, notamment la propriété de Liouville (absence de fonctions harmoniques bornées non-constantes). Dans cet exposé, je tenterai d'expliquer pourquoi la construction de tels plongement est assez facile. Les marches aléatoires permettent elle-même la construction de tels plongement et (sous une hypothèse sur le comportement du noyau de la chaleur) donne un critère intéressant pour la propriété de Liouville. L'hypothèse technique a pu être évitée par Saloff-Coste & Zheng.