Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Actions conformes lorentziennes de groupes de Lie semi-simples

Au milieu des années 1980, R. Zimmer a démontré qu'à isomorphisme local près, PSL(2,R) est le seul groupe de Lie simple non-compact qui peut agir par isométries sur une variété lorentzienne compacte. Sa démonstration s'appuie sur un résultat très général, basé sur de la théorie ergodique (qui lui est également dû), concernant les actions de groupes de Lie simples qui préservent une G-structure et une mesure finie. Ce théorème est très fort et donne suffisamment de contraintes algébriques pour bien comprendre les groupes de Lie simples d'isométries (ils préservent le volume, fini par compacité). Les structures géométriques les plus proches des métriques pseudo-riemanniennes et qui ne définissent pas naturellement une mesure finie sont les structures conformes. Ces dernières étant rigides en dimension supérieure ou égale à 3, on présume qu'il est possible de classifier leurs groupes d'automorphismes. Le résultat que je vais présenter étend le théorème de Zimmer aux groupes de Lie semi-simples sans facteurs compacts qui agissent cette fois-ci conformément sur une variété lorentzienne compacte de dimension au moins 3, poursuivant un travail initié par U. Bader et A. Nevo au début des années 2000. Sur un plan plus géométrique, j'expliquerai également ce qui distingue dynamiquement les actions de PSL(2,R) sur des variétés lorentziennes compactes, qui sont conformes sans être isométriques.