Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

Autour de la régularité de processus gaussiens

Notre but est d'estimer la régularité globale $(r_0,\beta_0)$ d'un processus Gaussien $X$, supposé (si $r_0\geq 1$) $r_0$-fois dérivable en moyenne quadratique, et tel que $X^{(r_0)}, r_0 \in N$, est localement stationnaire avec la régularité $\beta_0$, (0 < $\beta_0$ < 1). Dans beaucoup de domaines, l'estimation de la régularité d'un processus représente toujours et encore un problème important. La connaissance de cette régularité permet tout d'abord de donner des estimateurs précis pour l'approximation et l'intégration de processus échantillonnés. La régularité $\beta_0$ des trajectoires est liée à la dimension fractale de celles-ci (cf Adler 1981, Taylor et Taylor 1991). Cette relation a donné lieu à une importante littérature autour de la seule estimation de $\beta_0$. On peut se référer à l'article de synthèse de Gneiting et al. (2012) qui permet d'avoir une vue d'ensemble des travaux existant sur l'estimation de la dimension fractale, pour des processus réels et spatiaux, et des données supposées équidistantes. Les paramètres $(r_0,\beta_0)$ étant supposés inconnus, notre apport se porte donc sur les points suivants : les points d'observation ne sont pas forcément équirépartis; X n'est supposé ni stationnaire, ni avec des accroissements stationnaires : nous utilisons une hypothèse de stationnarité locale introduite par Berman (1974); l'ordre de différentiabilité de X, r0, n'est pas connu et doit être estimé; pour r0 >= 1, le coefficient de régularité $\beta_0$ est relatif à la dérivée non observée, $X^{(r0)}$ .