Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Espaces de lacets formels en dimension supérieure et algèbres de Lie tangentes

L'espace des lacets lisses C(S^1,M) associé à une variété symplectique M est doté d'une structure (quasi-)symplectique induite par celle de M. Nous traiterons dans cette thèse d'un analogue algébrique de cet énoncé. Kapranov et Vasserot ont introduit l'espace des lacets formels associé à un schéma. Il s'agit d'un analogue algébrique à l'espace des lacets lisses. Nous généralisons ici leur construction à des lacets de dimension supérieure. Nous associons à tout schéma X -- pas forcément lisse -- l'espace de ses lacets formels de dimension d. Nous démontrerons que ce dernier admet une structure de schéma (dérivé) de Tate : son espace tangent est de Tate, c'est-à-dire de dimension infinie mais suffisamment structuré pour se soumettre à la dualité. Nous définirons également l'espace des bulles dans X, une variante de l'espace des lacets, et nous montrerons qu'il hérite de la structure symplectique de X. Notons que ces résultats sont toujours valides dans des cas plus généraux : X peut être un champ d'Artin dérivé. Pour démontrer nos résultats, nous définirons ce que sont les objets de Tate dans une infinie-catégorie C stable et complète par idempotence. Nous prouverons au passage que le spectre de K-théorie non-connective de Tate(C) est équivalent à la suspension de celui de C. Dans une dernière partie, nous traiterons d'un problème différent. Nous démontrerons l'existence d'une structure d'algèbre de Lie sur le tangent décalé de n'importe quel champ d'Artin dérivé X. Qui plus est, ce tangent agit sur tout quasi-cohérent E, l'action étant donnée par la classe d'Atiyah de E. Ces résultats sont par exemple valides dans le cas d'un schéma X sans hypothèse de lissité.