Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Méthode de Newton régularisée pour les inclusions monotones structurées. Etude des dynamiques et algorithmes associés

Jury : H. Attouch, Directeur de thèse S. Adly, Université de Limoges, rapporteur R. Bot, Université de Vienne (Autriche), rapporteur M. Théra, Université de Limoges L. Thibault, UM Résumé: Cette thèse est consacrée à la recherche des zéros d'un opérateur maximal monotone structuré, à l'aide de systèmes dynamiques dissipatifs continus et discrets. Les solutions sont obtenues comme limites des trajectoires lorsque le temps t tend vers l'inni. On s'intéressera principalement aux dynamiques obtenues par régularisation de type Levenberg-Marquardt de la méthode de Newton. On décrira aussi les approches basées sur des dynamiques voisines. Dans un cadre Hilbertien, on s'intéresse à la recherche des zéros de l'opérateur maximal monotone structuré M = A + B, où A est un opérateur maximal monotone général et B est un opérateur monotone Lipschitzien. Nous introduisons des dynamiques continues et discrètes de type Newton régularisé faisant intervenir d'une façon séparée les résolvantes de l'opérateur A (implicites), et des évaluations de B (explicites). A l'aide de la représentation de Minty de l'opérateur A comme une variété Lipschitzienne, nous reformulons ces dynamiques sous une forme relevant du théorème de Cauchy-Lipschitz. Nous nous intéressons au cas particulier où A est le sous diérentiel d'une fonction convexe, semi-continue inférieurement, et propre, et B est le gradient d'une fonction convexe, diérentiable. Nous étudions le comportement asymptotique des trajectoires. Lorsque le terme de régularisation ne tend pas trop vite vers zéro, et en s'appuyant sur une analyse asymptotique de type Lyapunov, nous montrons la convergence des trajectoires. Par ailleurs, nous montrons la dépendance Lipschitzienne des trajectoires par rapport au terme de régularisation. Puis nous élargissons notre étude en considérant diérentes classes de systèmes dynamiques visant à résoudre les inclusions monotones gouvernées par un opérateur maximal monotone structuré M = $partialPhi$+ B, où $partialPhi$ désigne le sous diérentiel d'une fonction convexe, semicontinue inférieurement, et propre, et B est un opérateur monotone cocoercif. En s'appuyant sur une analyse asymptotique de type Lyapunov, nous étudions le comportement asymptotique des trajectoires de ces systèmes. La discrétisation temporelle de ces dynamiques fournit des algorithmes forward-backward (certains nouveaux ). Finalement, nous nous intéressons à l'étude du comportement asymptotique des trajectoires de systèmes dynamiques de type Newton régularisé, dans lesquels on introduit un terme supplé- mentaire de viscosité évanescente de type Tikhonov. On obtient ainsi la sélection asymptotique d'une solution de norme minimale.