Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Systèmes dynamiques de descente et algorithmes pour l'optimisation modérée, et les problèmes multi-objectif

Thèse en cotutelle avec le Chili Jury: H. ATTOUCH, Directeur de thèse J. PEYPOUQUET, Universidad Técnica Federico Santa Maria, Co-Directeur de thèse A. D. LEWIS , Cornell University ,Rapporteur A. DANIILIDIS, University of Chile, Rapporteur L. THIBAULT, UM P. GAJARDO, Universidad Técnica Federico Santa Maria J. M. FADILI, École Nationale Supérieure d?Ingénieurs de Caen Résumé: Dans une première partie, nous nous intéressons aux systèmes dynamiques gradients gouvernés par des fonctions non lisses, mais aussi non convexes, satisfaisant l'inégalité de Kurdyka-Lojasiewicz. Après avoir obtenu quelques résultats préliminaires pour la dynamique de la plus grande pente continue, nous étudions un algorithme de descente général. Nous prouvons, sous une hypothèse de compacité, que tout suite générée par ce schéma général converge vers un point critique de la fonction. Nous obtenons aussi de nouveaux résultats sur la vitesse de convergence, tant pour les valeurs que pour les itérés. Ce schéma général couvre en particulier des versions parallélisées de la méthode forward-backward, autorisant une métrique variable et des erreurs relatives. Cela nous permet par exemple de proposer une version non convexe non lisse de l'algorithme Levenberg-Marquardt. Enfin, nous proposons quelques applications de ces algorithmes aux problèmes de faisabilité, et aux problèmes inverses. Dans une seconde partie, cette thèse développe une dynamique de descente associée à des problèmes d'optimisation vectoriels sous contrainte. Pour cela, nous adaptons la dynamique de la plus grande pente usuelle aux fonctions à valeurs dans un espace ordonné par un cône convexe fermé solide. Cette dynamique peut être vue comme l'analogue continu de nombreux algorithmes développés ces dernières années. Nous avons un intérêt particulier pour les problèmes de décision multi-objectifs, pour lesquels cette dynamique de descente fait décroitre toutes les fonctions objectif au cours du temps. Nous prouvons l'existence de trajectoires pour cette dynamique continue, ainsi que leur convergence vers des points faiblement efficients. Finalement, nous explorons une nouvelle dynamique inertielle pour les problèmes multi-objectif, avec l'ambition de développer des méthodes rapides convergeant vers des équilibres de Pareto.