Séance Séminaire

Colloquium de Mathématiques

Surfaces avec J-, z- et h-structure.

Soit V un espace vectoriel réel, orienté, de dimension 2. Soit J(V) l'espace des applications linéaires J : V --> V avec J^2=-Id_V et donnant pour tout u dans V une base orientée (u,Ju) de V. L'espace J(V) porte une très riche géométrie. Par exemple toute mesure de probabilité sur J(V) a un unique centre cinématique. La géométrie de l'espace J(V) est présente en probabilités, topologie,...,politique, ... et presque partout ailleurs. Le nom générique de cette géométrie est "plan hyperbolique". Une J-surface est une surface orientée S munie d'une section J:S --> J(TS). La structure de J-surface est très molle, par exemple on peut utiliser des partitions de l'unité et centre cinématique pour construire des sections J ou pour déformer une telle section. L'espace J(S) des sections J avec base une surface fixée hérite des structures géométriques. Importants sont les segments [p,q] canoniques dans J(S). Classiquement on peut rendre rigide une J-surface (S,J). Théoreme 1. (Riemann) Une J-surface (S,J) porte une unique structure de z-surface compatible avec sa J-structure. Theorème 2. (Koebe) Une J-surface (S,J), compacte, connexe, sans bord, orientée et de genre g>1, porte une unique structure de h-surface compatible avec sa J-structure. Une z-surface resp. h-surface est une surface équipée localement avec coordonnée à valeur dans le plan complexe (resp. plan hyperbolique) et à changements de coordonnées holomorphes (resp. isométriques). Dans l'exposé je tâcherai d'expliquer cette théorie classique et de donner une preuve (peut-être neuve) du théorème 2, Théorème d'Uniformisation.