Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Quelques résultats sur l'invariant rho.

Partant de la construction de l'indice pour les revêtements et le théorème d'Atiyah (et Singer), j'expliquerai le lien entre la $K$-théorie des $C^*$-algèbres de groupes et certaines conjectures (Novikov ou Gromov-Lawson-Rosenberg). Ces liens passent par les propriétés d'une flèche d'assemblage en $K$-théorie proposée par Baum-Connes au début des années 80. La flèche de Baum-Connes joue aussi un rôle, plus subtile, dans l'étude de l'invariant rho d'Atiyah-Patodi-Singer ainsi que sa version $\ell^2$ introduite par Cheeger-Gromov dans les années 80. J'expliquerai quelques résultats récemment obtenus dans cette direction, en collaboration avec Mathai et avec Piazza. Dans la seconde partie de l'exposé, je détaillerai la preuve du théorème suivant et de ses corollaires (collaboration avec Indrava Roy, article disponible sur ma page): Théorème: Soit $\pi$ un groupe discret d\'enombrable et $S \pi$ son HR-groupe de structure. Alors il existe un morphisme $\xi: S \pi \rightarrow R$ tel que 1) Appliqué à la classe de $(f:M\to B\pi, g, spin)$ pour une variété spin impaire $M$ portant une PSC, $\xi$ donne l'invariant $\rho$ de Cheeger-Gromov du Dirac associé. 2) Appliqué à la classe d'une équivalence d'homotopie orientée $h$ entre deux variétés riemanniennes $(M, g)$ et $(M', g')$, $\xi$ donne la différence des invariants de Cheeger-Gromov des deux variétés riemanniennes.