Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

La methode de discrétisation gradient

Dans cet exposé, je souhaite parler de diverses méthodes numeriques, telles que (S) éléments finis conformes et non-conformes, éléments finis mixtes, volumes finis 2 points, volumes finis multi-points, volumes finis à dualité discrète, différences finies mimétiques (nodales et hybrides), ... Je voudrais aussi parler d'un certain nombre de modèles d'EDP, comme: (M) elliptique linéaire, modèles de Leray-Lions (e.g., p-laplace) transients et stationnaires, le modèle de Richards, le modèle de Stefan, les équations de Stokes et Navier-Stokes, ... Une manière de parvenir à couvrir tous ces schémas et modèles en un peu moins d'une heure est de parler extrèmement vite. Plutôt que de faire cela, je vais présenter un cadre générique - le méthode de discrétisation gradient (GDM, pour suivre l'acronyme anglais plus usuel) - qui unifie l'analyse de tous ces schémas pour tous ces modèles. La GDM consiste à séléctionner quelques éléments discrets (un espace, un opérateur de reconstruction de fonction, un opérateur de reconstruction de gradient), qui forment tous ensemble ce qu'on appelle une discrétisation gradient (GD), et à utiliser ceux-ci, en lieu et place des espaces et opérateurs continus, dans la formulation faible du modèle considéré. Cette substitution fournit un schéma, appelé schéma gradient (GS), pour le modèle. Sous quelques propriétés (P) (3 pour les modèles linéaires, 4 ou 5 pour la plupart des modèles non-linéaires), sur la GD, on peut prouver que le GS correspondant converge pour tous les modèles dans (M). Ces propriétés sont indépendantes du modèle spécifique considéré. De plus, tous les schémas dans (S) sont des GS, pour des GD bien choisies dont on peut prouver aisément, à l'aide d'outils généraux d'analyse fonctionnelle discrète, qu'elles satisfont les propriétes (P). En conséquent, l'analyse basée sur la GDM montre que tous les schémas (S) convergent pour tous les modèles (M). Nous concluerons l'exposé par une présentation rapide de deux résultats originaux établis à l'aide de la GDM: un résultat de convergence uniforme-en-temps de schémas numériques pour des équations paraboliques dégénérées (sans hypothèse de régularité sur la solution), et le premier résultat de super-convergence du schéma volume finis 2 points, populaire dans les milieux pétroliers.