Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Résolution numérique d'Équations aux Dérivées Partielles à coefficients variables

Jury M. Daniele DI PIETRO , Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, Directeur de these M. Luca FORMAGGIA, Politecnico di Milano, Rapporteur M. Nicolas SEGUIN, Université de Rennes 1, Rapporteur M. Sébastien BOYAVAL, Laboratoire d'hydraulique St-Venant (EDF R&D), Université Paris-Est , Examinateur M. Jean-Claude LATCHE, Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire, Examinateur M. Roland MASSON, Université de Nice Sophia Antipolis ,Examinateur M. Fabien MARCHE, Université de Montpellier, Examinateur Mme Francoise KRASUCKI, Université de Montpellier, Examinateur Résumé : Cette thèse aborde différents aspects de la résolution numérique des Equations aux Dérivées Partielles. Le premier chapitre est consacré à l'étude de la méthode Mixed High-Order (MHO). Il s'agit d'une méthode mixte de dernière génération permettant d'obtenir des approximations d'ordre arbitraire sur maillages généraux. Le principal résultat obtenu est l'équivalence entre la méthode MHO et une méthode primale de type Hybrid High-Order (HHO). Dans le deuxième chapitre, nous appliquons la méthode MHO/HHO à des problèmes issus de la mécanique des fluides. Nous considérons d'abord le problème de Stokes, pour lequel nous obtenons une discrétisation d'ordre arbitraire inf-sup stable sur maillages généraux. Des estimations d'erreur optimales en normes d'énergie et L2 sont proposées. Ensuite, nous étudions l'extension au problème d'Oseen, pour lequel on propose une estimation d'erreur en norme d'énergie où on trace explicitement la dépendance du nombre de Péclet local. Dans le troisième chapitre, nous analysons la version hp de la méthode HHO pour le problème de Darcy. Le schéma proposé permet de traiter des maillages généraux ainsi que de faire varier le degré polynomial d'un élément à l'autre. La dépendance de l'anisotropie locale du coefficient de diffusion est tracée explicitement dans l'analyse d'erreur en normes d'énergie et L2. La thèse se clôture par une ouverture sur la réduction de problèmes de diffusion à coefficients variables. L'objectif consiste à comprendre l'impact du choix de la formulation (mixte ou primale) utilisée pour la projection sur l'espace réduit sur la qualité du modèle réduit.