Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

Approximation du spectre de fréquence d'un splitting tree avec mutations Poissonienne neutres.

Dans cet exposé, nous introduirons un modèle de dynamique des populations dans lequel les individus vivent et se reproduisent de manière i.i.d. Leurs durées de vie suivent une loi arbitraire alors que la reproduction se produit de manière Poissonienne. Le processus \((N_{t},\ t\in\mathbb{R}_{+})\) comptant le nombre d'individus vivant à un instant \(t\) est alors un processus de branchement, généralement non-Markovien, dit de Crump-Mode-Jagers (binaire et homogène). Nous supposerons de plus que des mutations neutres touchent les individus à taux \(\theta\) sous l'hypothèse d'infinité d'allèles: chaque nouvelle mutation remplace le type de son porteur par un type totalement nouveau. Ce mécanisme mène à une partition de la population vivante par type. Le spectre de fréquence allélique est la suite d'entiers \((A(k,t))_{k\geq 1}\) où l'entier \(A(k,t)\) est le nombre de classes (familles) de taille \(k\). L'étude de cet objet est notamment motivée par son utilisation pour la détection de gènes en cours de sélection dans des populations en croissance. Le but de cet exposé est d'introduire une méthode d'approximation du spectre de fréquence facilitant son étude. L'erreur commise lors de cette approximation est alors étudiée grâce à un TCL dont la preuve est l'un des objectifs principaux de la présentation.