Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Des exemples de groupes quantiques : les algèbres FRT

Nous commencerons en introduisant les notions de base dans la théorie des groupes quantiques : algèbres, cogèbres, bigèbres et surtout algèbres de Hopf. Une fois ces définitions posées, un problème naturel est de construire des exemples non- triviaux de ces structures algébriques. Il est facile de donner des exemples d?algèbres de Hopf qui sont commutatives ou co-commutatives (c?est une notion que nous définirons), mais il est moins évident d?en trouver qui ne soit ni commutatives ni co-commutatives. Une famille intéressante d?exemples est fournie par les algèbres FRT(R) (avec R une matrice) où les relations de commutation entre variables sont définies par une égalité matricielle. Ces algèbres admettent un coproduit facile à décrire également en termes matriciels, et avec des hypothèses sur la matrice R, il existe une notion de "déterminant quantique" qui permet de les munir d?une structure d?algèbre de Hopf. Selon ce que le temps permet, nous passerons assez rapidement sur la théorie générale de ces algèbres, et considérerons une famille particulière de matrices R qui redonne les groupes quantiques F_q(sl(n)).