Séance Séminaire

Colloquium de Mathématiques

Le modèle d'Ising Z-invariant via les dimères.

Introduit par Baxter, le modèle d'Ising Z-invariant est un modèle d'Ising en dimension 2 défini sur un graphe plongé satisfaisant la condition d'isoradialité. Les constantes de couplages satisfont aux équations de Yang-Baxter; elles dépendent d'un paramètre k, interprété comme la température extérieure au système. Pour la valeur particulière k=0, le modèle d'Ising est critique. Dans la première partie de l'exposé, nous allons introduire ces notions et les replacer dans le contexte de la mécanique statistique. Nous expliquerons ensuite comment le modèle d'Ising peut être étudié au travers du modèle de dimères. Dans une deuxième partie, nous parlerons de résultats obtenus avec Cédric Boutillier et Kilian Raschel sur ce modèle. Nous démontrerons une expression explicite ne dépendant que de la géométrie locale du graphe pour les probabilités du modèle de dimères. Nous prouverons une expression explicite et locale pour l'énergie libre du modèle d'Ising. Nous montrerons une transition de phase d'ordre 2 en k=0 pour le modèle d'Ising et établirons qu'il s'agit de la même transition de phase que celle des forêts couvrantes Z-invariantes.