Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Applications CR-harmoniques, énergie renormalisée

Dans La Science et l'Hypothèse, Poincaré imagine un monde "renfermé dans une grande sphère", où les distances deviennent d'autant plus grandes que l'on se rapproche du bord. Ce monde est ainsi "limité au point de vue de notre géométrie habituelle, [mais] paraîtra infini à ses habitants". La géométrie naturelle pour ces derniers, explique-t-il, sera non-euclidienne, et en l'occurrence hyperbolique. Certaines variétés riemanniennes peuvent, comme le monde de Poincaré, être munies d'un "bord à l'infini". Elles sont dites asymptotiquement hyperboliques, et à leur structure riemannienne correspond sur le bord une structure conforme. Initié par C. Fefferman et C. R. Graham, ce lien entre géométrie conforme et géométrie asymptotiquement hyperbolique est riche de conséquences, et est connu en physique des particules sous le nom de correspondance AdS/CFT. Dans sa thèse, V. Bérard montre grâce à cette correspondance l'existence, étant données deux variétés riemanniennes $(M,g)$ et $(N,h)$ avec $M$ de dimension $n$ paire, d'une fonctionnelle agissant sur les applications $C^\infty(M,N)$, invariante conforme par rapport à $g$, égale à l'énergie lorsque $n=2$. Cette fonctionnelle est appelée énergie renormalisée. Les applications conforme-harmoniques sont les points critiques de cette fonctionnelle et forment une généralisation des applications harmoniques. Après une présentation succincte de ces objets, j'orienterai mon exposé sur le cas des variétés asymptotiquement hyperboliques complexes. Dans ce contexte, l'infini conforme est une variété de Cauchy-Riemann, et l'étude présente de nombreuses analogies avec le cas "$n$ pair" riemannien. J'expliquerai comment y obtenir une notion d'énergie renormalisée et une condition d'harmonicité conforme.