Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Plongements grossiers de l'espace de Hilbert dans les espaces de Banach

Un plongement grossier entre espaces métriques est une application qui préserve dans un sens assez faible la géométrie ``aux grandes distances''. Plus précisément, si $(M,d)$ et $(N,\delta)$ sont des espaces métriques, $f:M\to N$ est un plongement grossier s'il existe $\rho,\omega: [0,\infty)\to [0,\infty)$ telles que $\lim_{t\to \infty}\rho(t)=\infty$ et pour tous $x,y$ dans $M$ : $\rho(d(x,y))\le \delta(f(x),f(y))\le \omega(d(x,y)).$\\ La question du plongement des espaces métriques dans de ``bons'' espaces de Banach intéresse des mathématiciens de diverses origines. Le point de départ est de mieux appréhender l'étude d'espaces métriques compliqués, comme des graphes à un grand nombre de sommets, en les plongeant dans des espaces de Banach bien compris, comme l'espace de Hilbert. Par exemple un résultat remarquable de G. Yu (2000) assure que la conjecture de Novikov est satisfaite si le graphe de Cayley d'un certain groupe fondamental se plonge grossièrement dans un espace de Hilbert. Ainsi, une hypothèse métrique faible sur le groupe, entraine un résultat fort en topologie différentielle.\\ Par ailleurs, de nombreux résultats, dont bien sûr le théorème de Dvoretsky, indiquent que dans un certain sens, l'espace de Hilbet $\ell_2$ est l'espace de Banach dans lequel il est le plus difficile de se plonger. Nous les rappellerons. Cependant, la question restait ouverte de savoir si $\ell_2$ se plonge grossièrement dans tout espace de Banach de dimension infinie. Dans cet exposé, nous montrerons que ce n'est pas le cas. La preuve est basée sur l'utilisation certain graphes à branchements dénombrables. Il s'agit d'un travail en commun avec F. Baudier et Th. Schlumprecht.