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Séminaire ACSIOM

Platitude des systemes de contròle linéarisables dynamiquement via une pre-intégration

Nous étudions la platitude des systèmes de contrôle non-linéaires de la forme \Xi : x'=F(x,u), où x est l'état, défini sur un ouvert X de \R^n, et u est le contrôle, défini sur un ouvert U de $\R^m. La notion de platitude a été introduite en théorie du contrôle dans les années 1990 par Fliess, Lévine, Martin et Rouchon. Toutes les solutions d'un système plat peuvent être paramétrées par un nombre fini de fonctions et de leurs dérivées. Le système \Xi : x'=F(x,u) est plat s'il existe m fonctions lisses phi_i(x,u,...,u^(p)) telles que localement x = \gamma(\phi,...,\phi^(s)) u = \delta(\phi,...,\phi^(s)), où \phi=(\phi_1,...,\phi_m) est appelée sortie plate. La platitude est étroitement liée à la linéarisation par bouclage statique ou dynamique. Les systèmes statiquement linéarisables sont clairement plats et l'expression de x et u en fonction des sorties plates utilise le nombre minimal, i.e., n+m, des dérivées de \phi_i. En général, les systèmes plats ne sont pas statiquement linéarisables, cependant ils peuvent être vus comme la généralisation de ceux-ci. En effet, un système est plat si et seulement s'il est linéarisable par bouclage dynamique inversible et endogène. Le nombre minimal de dérivées de \phi_i utilisées pour exprimer x et u est appelé le poids différentiel de la sortie plate \phi. Une sortie plate de \Xi est appelée minimale si son poids différentiel est le plus petit parmi toutes les sorties plates de \Xi. Le poids différentiel d'un système plat \Xi est égal au poids d'une sortie plate minimale de \Xi et permet de déterminer la plus petite dimension possible d'un pré-compensateur linéarisant dynamiquement le système. Nous donnons une caractérisation complète des systèmes de contrôle qui ne sont pas linéarisables statiquement, mais qui le deviennent après l'application d'un bouclage dynamique aussi simple que possible. Ce sont les systèmes plats qui se rapprochent le plus des systèmes linéarisables statiquement et ils forment une classe particulière de systèmes plats : ils sont de poids différentiel n+m+1. Dans un premier temps, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système devienne statiquement linéarisable après la pré-intégration d'un contrôle adéquat (ou de manière équivalente, pour qu'il soit plat de poids différentiel n+m+1). Ensuite, nous donnons la description de sorties plates minimales et en déduisons un système d'EDP à résoudre afin de calculer les sorties plates.