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Séminaire ACSIOM

Masse critique optimale pour le modèle de Keller-Segel en dimension 2

Le syst\`eme de Keller-Segel d\'ecrit le mouvement collectif de cellules qui sont attir\'ees par une substance chimique et qu'elles sont capables d'\'emettre. Dans sa forme la plus simple, il s'agit d'une \'equation de d\'erive-diffusion conservative pour la densit\'e des cellules, coupl\'ee à une \'equation elliptique pour la concentration de chemo-attractant. On sait que, en dimension deux, il y a existence globale de solutions pour une masse initiale petite, alors que pour une masse initiale grande, la solution explose en temps fini. Dans cet article, nous pr\'ecisons cette description et donnons une preuve d\'etaill\'ee de l'existence de solutions faibles avec masse inf\'erieure \`a la masse critique, au-dessus de laquelle toute solution explose en temps fini. En utilisant des arguments d'hypercontractivit\'e, nous \'etablissons des r\'esultats de r\'egularit\'e qui nous permettent de prouver une in\'egalit\'e reliant l'\'energie libre et sa d\'eriv\'ee en temps. Pour une solution avec masse sous-critique, cela nous permet de donner une description des ``asymptotiques interm\'ediaires'' en temps grand, qui d\'ecrivent la convergence locale des solutions vers z\'ero. Dans des coordonn\'ees auto-similaires, nous montrons en fait un r\'esultat de convergence vers une solution auto-similaire limite qui n'est pas simplement donn\'ee par la diffusion.