Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

Estimation de template en anatomie computationnelle: consistance de l'estimation de template par le calcul de la moyenne de Fréchet dans les quotients

En anatomie computationnelle, on suppose que les formes d'organes sont issues de déformation d'un template commun. Les données peuvent être des images ou des surfaces d'organes, les déformations peuvent être des difféomorphismes. Pour estimer le template, on utilise souvent un algorithme, appelé «max-max», qui minimise parmi tous les templates candidats, la somme des carrées des distances après recalage entre les données et le template candidat. Le recalage étant une étape dans l'algorithme qui trouve la meilleur déformation pour passer d'une forme à une autre. Le but de cette présentation est de voir quelques résultats d'études de cet algorithme max-max. En particulier, on prouvera que cet algorithme est inconsistant à cause du bruit. Cela veut dire que même avec un nombre infini de données et avec un algorithme de minimisation parfait, on estime le template original avec une erreur. Pour prouver cette inconsistance, différentes hypothèses sont requises dans différent résultats. Pour cela, on formalise mathématiquement l'estimation de template. On suppose que les déformations sont des éléments aléatoires d'un groupe qui agit sur l'espace des observations. De plus, l'algorithme étudié est interprété comme le calcul de la moyenne de Fréchet dans l'espace des observations quotienté par le groupe des déformations. Après quelques rappels sur ces notions géométriques (action, espace quotient etc.), nous prouverons que l'inconsistance est due à la contraction de la distance quotient par rapport à la distance dans l'espace des observations (ici un espace de Hilbert), l'inconsistance est obtenue pour presque tous les bruits. Un autre but de cette étude est de quantifier l'inconsistance. On estime l'erreur entre le template originel et le template estimé. On obtient un équivalent du biais de consistance en fonction du niveau de bruit : l'inconsistance est inévitable quand le niveau de bruit est suffisamment grand.