Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

A la recherche de contrôles impairs pour l'équation de la chaleur

Dans cet exposé, je présenterai une des grandes problématiques de la théorie du contrôle : la contrôlabilité. Etant donné un système contrôlé : $y'(t)=f(y(t),h(t))$, $ y(0)=y_0$, $t \in (0,T)$ où $y$ désigne la variable d'état et $h$ la variable de contrôle, la question est de savoir si étant donnés un état initial $y_0$ et un état final $y_T$, on peut trouver un contrôle $h$ qui permet de relier $y_0$ à $y_T$, i.e., tel que l'unique solution du problème de Cauchy : $y'=f(y,h), y(0)=y_0$ vérifie $y(T,.) = y_T$. \\ Je me concentrerai ensuite sur l'équation de la chaleur avec contrôle localisé : $\partial_t y - \Delta y = h 1_{\omega}$. Une bonne notion pour cette équation est la contrôlabilité à zéro. D'un point de vue physique, on se demande si étant donnée une pièce fermée de température initiale $y_0$, on peut agir de manière localisée dans la pièce (avec un petit radiateur par exemple) pour amener la température de la pièce à $0$ au temps $T$. Cette question a été résolue mathématiquement par Gilles Lebeau et Luc Robbiano en 1995 et par Andrei Fursikov et Oleg Imanuvilov en 1996 par des inégalités de Carleman. Il a été démontré un peu plus tard que " le " contrôle $h$ (localisé) peut être choisi $C^{\infty}$. \\ Pour des raisons naturelles que j'expliquerai, je me suis demandé au cours de ma thèse si on pouvait trouver un contrôle (amenant à zéro) qui soit la puissance d'une fonction régulière, c'est à dire, on se demande si on peut écrire $h = \widehat{h}^n$ avec $\widehat{h}$ régulier et $n \geq 2 $. Le cas des puissances paires : $n=2k$ peut vite être écarté puisque le contrôle ne peut pas rester positif par le principe du maximum. Pour le cas des puissances impaires $n=2k+1$, la réponse est : Oui ! La preuve s'appuie sur une généralisation de la méthode de dualité de Jacques Louis Lions : Hilbert Uniqueness Method. Je présenterai les grandes idées de la preuve et les applications de ce résultat à la contrôlabilité à zéro des systèmes de réaction-diffusion de deux espèces.