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Théorie des représentations des schémas en groupes

Une théorie des représentations pour (les objets d')une catégorie C est l'association d'une catégorie Rep(X) à chaque objet X de C. Bien sûr, cette association est faite de sorte que, d'une part on puisse obtenir des informations sur l 'objet X, et d'autre part cette association permette de classifier les objets de C. Parmi les exemples bien connus, on peut citer pour un anneau A, la catégorie des A-modules ou pour un groupe (abstrait, de Lie, algébrique affine) G, la catégorie des représentations (classiques) de G obtenues en considérant les espaces vectoriels munis d'une action de G.

Dans cet exposé je construirai une théorie des représentations pour des groupes algébriques quelconques, ou plus généralement, pour des schémas en groupes quasi-compacts. Plus précisément, étant donné une extension affine d'une variété abélienne (c'est à dire, une suite exacte courte S de schémas en groupes 1->H->G->A->0, où A est une variété abélienne et H un schéma affine, on considère des actions de S sur certains fibrés vectoriels sur A. La catégorie ainsi construite permet de classifier les extensions affines, généralisant de cette façon le théorème de dualité de Tannaka pour les schémas en groupes affines.

Dans la première partie de l'exposé je présenterai les idées de base, en commençant par montrer pourquoi est-ce que les actions linéaires sur des espaces vectoriels ne sont pas le bon choix pour le cas général. Ensuite je présenterai les extensions affines, et construirai leurs représentations. Je finirai par montrer un analogue du théorème de dualité de Tannaka.

Dans la deuxième partie de l'exposé, je donnerai des détails à propos de la preuve du théorème de dualité de Tannaka et présenterai quelques idées pour la suite.