Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Quelques remarques sur le théorème de Lax-Wendroff en hyperbolique

Dans cet exposé, je vais m'intéresser à l'approximation numérique des problèmes hyperboliques non linéaires. Il est bien connu que la solution générique du problème de Cauchy pour un problème de ce type n'est même pas continue, en général. Aussi, on doit requérir à la notion de solution faible. Il aussi faut rajouter un principe de sélection au moyen d'entropies, et donc une série d'inégalités supplémentaires (une par entropie). Du point de vue numérique, la notion de solution faible se traduit, grâce au théorème de Lax-Wendroff (1960), par la notion de flux numérique et ce résultat donne aussi une forme générale que doit posséder un schéma numérique pour avoir une chance de fournir des solutions convergent vers une solution faible. Les contraintes d'entropies se traduisent "simplement" par des contrainte sur des flux numériques liés à l'entropie. Depuis longtemps, toute la recherche se résume à construire des schémas, donc des flux, de plus en plus robustes, précis, etc. Il existe cependant de nombreux schémas qui ne rentre pas très naturellement dans ce cadre. Un exemple classique est celui du schéma SUPG de Hughes et al. qui est une version stabilisée du schéma de Galerkin (continu). Dans la pratique industrielle, la majeure partie des schémas employés sont cependant de type classique, c'est à dire avec flux, et donc obéissant au théorème de Lax-Wendroff. Dans cet exposé, je voudrai revisiter la notion de conservation, pour introduire une variante un peu plus générale. Elle se résume au cas classique en une dimension d'espace, mais contient la version Lax-Wendroff multidimensionnelle classiquement employée. A l'aide de cette notion, il est facile de démontrer un théorème à la Lax-Wendroff, et de montrer que tous les schémas classiques, éléments finis compris, ont une forme par flux, avec une expression analytique des flux. En ce sens, l'affirmation "les schémas éléments finis continus ne sont pas localement conservatifs" n'est qu'une croyance fausse. Je montrerais aussi que grâce à cette notion, il est facile de construire, à partir un d'un schéma quelconque, un schéma, toujours localement conservatif, mais qui satisfait d'autre relations (ou inégalités) de conservation. l'exemple typique est celui de l'entropie, mais d'autres exemples sont possibles.