Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Une méthode de domaines fictifs à convergence optimale

Les méthodes du type domaines fictifs permettent de discrétiser une EDP sur un domaine complexe en utilisant un maillage d'arrière-plan simple (typiquement cartésien) sur un domaine plus grand (typiquement un rectangle). Les variantes classiques de ces méthodes reposent sur l'extension de la solution au domaine fictif entier, sont très faciles à mettre en oeuvre, mais convergent lentement. Récemment, plusieurs méthodes de domaine fictif à convergence optimale ont été proposées en suivant le paradigme XFEM ou CutFEM. Contrairement aux approches classiques, la formulation faible, et par conséquent la formulation éléments finis, sont établies sur le domaine physique, bien que les espaces d'approximation vivent toujours sur le maillage d'arrière-plan qui peut être coupé de manière arbitraire par la frontière réelle. On fait alors recours à une intégration numérique non triviale pour calculer les contributions à la matrice d'éléments finis sur les éléments de maillage coupés, ce qui rend la mise en oeuvre plutôt complexe. Nous avons proposé dans [1] de contourner cette complication technique en introduisant une reformulation du problème basée sur l'extension de la solution à un domaine fictif qui n'est que légèrement plus grand que le domaine physique, à savoir l'union des éléments du maillage ayant une intersection non vide avec ce dernier. À cet égard, notre méthode est un compromis entre les méthodes du domaine fictif classiques et celles du type XFEM-CutFEM. Notre méthode est basée sur une formulation variationnelle similaire à la variante anti-symétrique de la méthode de Nitsche. Nous imposons la coercivité par une "pénalisation fantôme" [2]. La méthode a été étudiée dans [1] dans le cas du problème de Poisson avec les conditions aux limites de Dirichlet. La convergence optimale a été prouvée théoriquement et numériquement. Dans cet exposé, nous discuterons les résultats de [1] et les généraliserons aux conditions aux limites de Neumann et de Robin. Nous discuterons aussi des applications possibles aux simulations des écoulements fluide-particules ou fluide-structure. [1] Lozinski, A. (2016). A new fictitious domain method: Optimal convergence without cut elements. Comptes Rendus Mathematique, 354(7):741-746. [2] Burman, E. (2010). Ghost penalty. Comptes Rendus Mathematique, 348(21):1217-1220.