Séance Séminaire

Colloquium de Mathématiques

Inégalités de Korn non linéaires sur une surface

Etant donnée une surface de l'espace euclidien usuel, ses propriétés métriques (longueur des courbes tracées sur la surface, calcul de l'aire de la surface) et de courbure (calcul des rayons de courbure de courbes tracées sur la surface) sont respectivement caractérisées par la première et la seconde forme fondamentale de la surface. Celles-ci sont données par deux champs de matrices symétriques, définies positives pour la première, définies dans un ouvert du plan. Le théorème fondamental de la théorie des surfaces exprime que, "réciproquement", une surface peut être reconstruite à partir de ses deux formes fondamentales si celles-ci vérifient les conditions de Gauss et Codazzi-Mainardi dans un ouvert du plan simplement connexe, et que cette surface est alors définie de facon unique à une isométrie propre près. Alors que ce théorème est établi classiquement dans des espaces de fonctions continûment différentiables, il a été récemment étendu à d'autres espaces fonctionnels, notamment aux espaces de Sobolev. Une question naturelle est de savoir si une telle surface est une fonction continue de ses formes fondamentales. Une première réponse affirmative a été donnée par l'auteur lorsque les espaces fonctionnels de fonctions continûment dérivables sont munis de leur topologie de Fréchet. Il a été établi plus récemment, dans divers travaux, de Liliana Gratie, Maria Malin, Cristinel Mardare, Sorin Mardare, et de l'auteur, que ce type de résultat peut être également étendu aux espaces de Sobolev, au moyen d'inégalités de Korn non linéaires sur une surface. Dans cet exposé, on décrira ces résultats, et on indiquera brièvement quelques applications, par exemple à l'approche intrinsèque de la théorie des coques non linéairement élastiques, où les formes fondamentales de la surface moyenne déformée sont les seules inconnues du problème.