Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Sur la non-annulation de la cohomologie de Aut(F_n) and Out(F_n) en dimensions maximales

Peu de résultats sont connus concernant les nombres de Betti L^2 de Aut(F_n) ou Out(F_n), les groupes d'automorphismes (resp. automorphismes extérieurs) du groupe libre F_n Leurs dimensions géométriques virtuelles (dimension minimale d'un K(G,1) pour des sous-groupes d'indice fini) sont 2n-2, resp. 2n-3. Je vais montrer que les nombres de Betti L^2 pour Aut(F_n) et Out(F_n) ne s'annulent pas en ces dimensions (maximales puisqu'au delà, tout est nul). Par le théorème d'approximation de Lück, cela implique que ces groupes ont des sous-groupes d'indice fini dont la cohomologie rationnelle top-dimensionnelle ne s'annule pas ; en fait les nombres de Betti usuels croissent linéairement avec l'indice. Je compte présenter les bases de la théorie et rester au maximum à un niveau élémentaire.