Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Compactification de variétés asymptotiquement hyperboliques

L'espace hyperbolique réel, vu dans le modèle de la boule de Poincaré, possède un "bord à l'infini". Il s'agit d'une sphère, qui dispose à son tour d'une géométrie (conforme, cette fois), héritée de la géométrie de l'espace hyperbolique. Le lien entre ces deux géométries est fort : par exemple, le groupe des automorphismes de la géométrie de l'espace hyperbolique de dimension n+1 (isométries) est naturellement isomorphe au groupe des automorphismes de la géométrie conforme de la sphère de dimension n (applications conformes). Ce cas particulier a motivé la définition d'une classe de variétés, appelées "variétés conformément compactes" : elles disposent d'un "bord à l'infini" héritant d'une géométrie conforme issue de leur géométrie intrinsèque. Cependant, cette définition est extrinsèque, et suppose connu un bord à l'infini et un recollement. Dans cet exposé, nous tenterons d'expliquer certains théorèmes qui donnent des conditions suffisantes pour qu'une variété riemannienne soit conformément compacte (de manière intrinsèque) : ce sont les "variétés asymptotiquement hyperboliques". Leur bord à l'infini n'est autre que leur bord de Gromov, dont nous discuterons la régularité.