Séance Séminaire

Colloquium de Mathématiques

Perfectoïdes : des objets monstrueux au service de problèmes classiques

L'objet primordial de l'arithmétique est l'étude des solutions entières de systèmes d'équations polynômiales à coefficients entiers. Une technique fondamentale consiste à étudier d'abord les solutions "modulo un nombre premier p". On est alors amené à travailler avec des objets "géométriques" sur un corps fini, pour lesquels des idées classiques de topologie permettent de compter le nombre de solutions modulo p des systèmes considérés. Pour avoir des informations plus fines, il faut regarder les solutions "modulo p^n pour tout entier n". On est alors amené à travailler sur les "nombres p-adiques", qui sont pour l'arithméticien aussi naturels et importants que les nombres réels. Ils forment un corps muni d'une valeur absolue, sur lequel on peut faire de l'analyse et de la géométrie. Ces outils p-adiques sont essentiels dans la preuve du théorème de Fermat par Wiles, par exemple. Dans ses travaux, Scholze a introduit une nouvelle classe d'objets p-adiques, appelés "espaces perfectoïdes", qui malgré leur abord monstrueux, ont considérablement étendu la portée des applications de la géométrie p-adique aux problèmes arithmétiques. On essaiera d'expliquer l'originalité du point de vue de Scholze et de présenter quelques applications arithmétiques spectaculaires, dont l'énoncé ne fait pas intervenir le mot "p-adique"