Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Classification dynamique des homomorphismes des groupes de tresses dans les groupes de tresses

Cet exposé est basé sur un travail (en cours) en collaboration avec Fabrice Castel et Juan Gonzalez-Meneses. Le groupe de tresses $B_n$ a différentes définitions qui traduisent ses différents aspects. Les deux aspects qui nous intéressent ici est l'aspect algébrique, où $B_n$ est défini par sa présentation standard, et l'aspect topologico-dynamique, où $B_n$ est vu comme le groupe des homéotopies (ou mapping class group) d'un disque épointé ${\mathbb D}_n$. Un théorème central de Thurston dans l'étude des groupes d'homéotopies des surfaces dit que toute classe d'isotopie d'homéomorphismes est périodique, pseudo-Anosov ou réductible. Périodique signifie d'ordre fini lorsque la surface est fermée. Réductible signifie qu'il existe une collection finie de cercles plongées dans la surface, deux à deux disjoints, et invariants à isotopie près par l'action de l'élément. Nous démontrons que les homomorphismes $\varphi:B_n\to B_m$ admettent une classification similaire. Il y a les cyclique, dont l'image est un groupe cyclique. Il y a les réductifs, qui laissent invariant une famille de cercles non triviaux deux à deux disjoints. Et il y a les standards, où $n=m$ et $\varphi$ est une ``transvection'' de l'identité.