Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

Les PDMP en biologie

On considèrera différents exemples de Processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP) qui vont intervenir en biologie. On va s?intéresser à des processus dont la dynamique est entièrement déterministe à l'exception des instants de saut. Pour les différents modèles le but sera d?établir des théorèmes limites de convergence de processus, afin d?ensuite pouvoir établir les vitesses de convergences d?estimateurs du taux de sauts. Dans les différents cas on expliquera les diverses difficultés rencontrées et les différences suivant les modèles. Pour le premier modèle on s?intéressera à l?évolution de la taille des bactéries Escherichia coli (un travail en collaboration avec Marie Doumic, Marc Hoffmann et Lydia Robert). Ensuite on verra comment l?on peut généraliser ces résultats à une classe particulière de Processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP), dont l'espace d?état est $(0,\infty)$, et dont la dynamique est entièrement déterministe à l'exception des instants de saut (un travail en collaboration avec Emeline Schmisser). Enfin on étudiera des PDMP vivant dans $\R^N$, avec une dépendance beaucoup plus complexe que pour le cas des bactéries où on pouvait utiliser une many-to-one formula (un travail en collaboration avec Pierre Hodara, Eva Löcherbach ). On va considérer un modèle de neurone où le potentiel de la membrane va être décrite par un PDMP à valeurs dans $\R^N, $ avec $N$ le nombre de neurones considérés. Il y a un drift déterministe qui va attirer chaque potentiel de la membrane vers un potentiel à l?équilibre $m$. Lorsqu?un neurone saute, le potentiel de la membrane est mis à zéro et celui des autres neurones reçoit un potentiel additionnel $\frac{1}{N}.$ Des simulations illustreront le comportement de notre estimateur dans divers cas.